描述非轴对称曲面生成的离轴圆锥曲面

传统的单点金刚石转动（SPDT）车床使用两个运动轴来描述空间中的曲线。曲线形成在待加工的工件的中心线和金刚石工具的切削刃之间。工件的旋转通过切割动作产生3D旋转表面。

由于这些运动的简单性，SPDT过程被限制在轴对称表面的生成。四轴SPDT的最新引入为非轴对称曲面的生成提供了一种技术。

进一步到两个轴的运动(X和Y)在SPDT车床上可用，两个额外的运动被四轴加工使用。第三种运动是通过对工件夹持主轴(φ轴)进行编码而产生的，这样机床控制器就可以在加工时获取工件的角度位置。

第四运动轴Z'轴是保持SPDT工具的额外的线性轴。它具有有限的运动范围，但可以实现极快的定位。通过协调工具的运动作为工件的角度位置的函数，可以产生非轴对称表面。

大型马赛克镜的轴外段的加工是这种技术的一种应用。通常，对于这些表面的SPDT，必须在距工作保持主轴轴线的适当距离处定位该区段，并且将表面加工作为旋转全父母表面的一部分。该方法对段可以从父轴偏离轴的程度构成限制，因此限制是最大机床摆动几何形状。

这个限制主要是关于段离轴的距离，而不是它的物理大小。在离轴很远的情况下，即使是很小的部分也需要大型机床。通过采用四轴方法加工这些曲面，可以将线段与四轴非轴对称加工生成的右离轴曲面定位在轴线上。

这种非轴对称曲面生成的四轴方法确保了这些线段的曲面几何能够以正确的方式进行描述。

这篇文章介绍了……的几何学离轴圆锥表面这样的几何精度和能够快速实时解决四轴定位所需的高转速。

研究了减小第四轴运动范围的考虑因素。为了解释这些考虑，我们以凯克望远镜主镜的几何形状为例。

轴外表面几何形状

坐标系中的矢状方程描述了在参照父曲面的坐标曲面上的大多数非球面离轴曲面，例如:

（1）

该方程解释了在圆柱坐标系中由简单多项式项修正的旋转圆锥曲面，坐标系原点与非球面顶点重合。矢状轴为z轴，与非球面的旋转轴共线。

为了生成非轴对称离轴截面，需要在离轴曲面为中心的极坐标系下的截面几何知识。对于修正的一般非球面，需要求解超越方程。

可以解决闭合形式的革命一般锥体的情况，这将在这里考虑。封闭形式描述的好处是，在四轴控制系统中，所需的运动可以在“实时”环境中协调。

文献中描述了用变形技术制造的表面的离轴旋转圆锥曲面的合适表示。本文还介绍了基于Zemike多项式的典型非轴对称表面制造的近似方法。汤普森报告了具有方向限制的离轴抛物面的精确描述。推导在这里显示的一般离轴圆锥面倾斜在子午面在任意角度，遵循汤普森方法。

Thompson的方法可以分为四个部分:

首先，在母圆锥曲面坐标系中描述离轴几何，离轴线段的中心沿x轴。接下来，它被转换为第二个坐标系统，其原点与离轴段的中心重合。它在子午面上进一步旋转到第三坐标系。最后，将它从笛卡儿形式转换为柱面表示。图1显示了所使用的坐标系统。

图1。离轴几何

通过描述旋转父表面的坐标系中的轴圆形表面来开始衍生。该初始描述在等式2中给出，其中R.母二次曲面的旁轴曲率半径，和K.是圆锥常数。

（2）

通过选择一个点（x_0.，0，z_0.）在轴上，可以使用等式3创建第二个坐标系，以将原点从父顶部转换为此新点。可以通过直接替换来写入中心的偏离轴表面的新描述。简化后，这提供了公式4。

（3）

（4）

通过子午角α旋转离轴居心系统，使用公式集5形成第三坐标系。对相似项进行分组和简化后，离轴曲面的描述可以在新的矢状方向z以二次方程6的形式重写_3.．

（5）

（6)

坐标系统最终从笛卡儿坐标系转换为圆柱坐标系，使用方程集7，提供二次矢状描述，方程8，在最终需要的方向。

（7）

（8）

经过大量的化简，这个二次方程的解为式9。选择这种形式允许z的依赖性_3.在ρ和φ要清楚地研究。

（9)

方程10到15定义了新创建的常量。

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

(15）

使用此表单的限制要少得多。由于分母共享一个共同的项，当它的值为零时，这种形式就失效了。这种情况可以发生在以一定角度倾斜的双曲面段，以及一个不倾斜的抛物面的独特情况。9式根号的选择是由分母的符号决定的。当根号下面的量为负数时，这种形式就失效了。当值ρ超出圆锥面范围。

最小化第四轴运动的因素

这种离轴圆锥曲面的描述适用于只使用三个运动轴(即x, z， φ)的制造方案。它不提供四轴加工方案所需的矢状运动的分离(即z从z')。

由于第四轴的运动范围受到限制，必须将整个矢状运动z进行划分，使第四轴的运动最小化。这可以通过为慢z轴选择正确的运动基线来实现，并使用快z'轴的运动来产生所需的非轴对称运动。除了选择最佳基线，选择正确的子午倾斜角，α，也可减少第四轴的运动。

为了展示基线减法和倾斜角度的选择如何降低第四轴运动，可以使用屏幕望远镜主镜的轴轴段。Keck主镜的流行曲面图如图2所示。

图2。Keck主米罗特曲面

可以将36个偏离轴段分组成六个不同的表面形状。类型4和5的镜像段表示相同几何形状的右手和左手版本。当沿双曲线初级旋转轴观察时，每个投影部分的轮廓是六边形。每个六边形的边缘长度为0.9米。

里奇-克雷蒂安望远镜的主镜的近轴曲率半径为34.974米，圆锥常数为-1.003683。第六段组几何将用于这个例子，因为它是最非轴对称的。

最佳子午倾斜角的第一个估计是离轴中心点(x_0.，0，z_0.），如在原始父表面的坐标系中所见。

尽管这个估计减少了靠近中心点的非轴对称刀具运动，但它不能优化离中心点任何径向距离的非轴对称运动。当选择一个倾斜角度平衡图形在子午线平面的极端径向位置，整体非轴对称几何减少。

Keck段的原始母坡与最佳坡之间的变化在几秒弧内。对第四轴运动的影响是20%的减少，为优化倾斜的原始斜坡。图3显示了Keck望远镜外部部分的第四轴运动的变形视图，具有优化的倾斜角度和使用的母圆锥的斜率。用于生成这些图像的基线将z轴设置为z的值_3.在φ每个值= 0ρ．

图3。Z'第四轴运动-外Keck段

（φ= 0°基线减去）

表1显示了用于优化Keck主镜六种几何形状的母斜面的倾斜校正。

表1。凯克望远镜主镜的四个轴参数

行	中心位置x0.	倾斜校正δα	第四轴运动z'
T1.	1558.8毫米	-3.10弧秒	0.0235毫米
T2.	2700.0毫米	-5.31弧秒	0.0701毫米
T3.	3117.7毫米	-6.10 acc	0.0932毫米
T4.	4124.3毫米	-7.93弧秒	0.1617毫米
T5.	4124.3毫米	-7.93弧秒	0.1617毫米
T6.	4676.5毫米	-8.88弧秒	0.2067毫米

选择一个最佳基线很简单。对于每个径向位置，矢状运动z_3.最大值和最小值。通过将基线选择为这两个值的平均值，第四轴运动的范围保持为围绕单个位置。

在图4中可以看到外部keck段的两个视图，其中减去了最佳倾斜角度和最佳基线。左边的线框模型是从父轴看到的表面，右边的线框模型是从正交的角度看到的表面。表1显示了所有六种Keck几何图形的优化第四轴运动的值。必须指出的是，对于所有这些部分，所需的第四轴的运动范围与部分本身的尺寸相比是非常小的。

图4。Z'第四轴运动- Keck段外(优化基线减去)

结论

本文提供了描述一般的方程式的推导离轴圆锥表面．衍生的等式适用于非轴对称方式的四个轴生成这些表面。已经研究过减少运动范围的因素。

这些信息已经从Precitech提供的材料中获得，审查和改编。欧洲杯足球竞彩

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